Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

a.       Pernyataan, konstanta, variabel dan kalimat terbuka

1)      Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau bernilai salah (tidak kedua-duanya). Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut:

a)      Tidak ada bilangan prima yang genap

Pernyataan tersebut bernilai salah, sebab 2 merupakan bilangan prima yang genap.

b)      Jumlah 9 dan 6 adalah 15

Pernyataan tersebut bernilai benar karena 9 + 6 = 15.

c)      8 adalah faktor dari 48

Pernyataan tersebut bernilai benar.

2)      Kalimat terbuka, konstanta dan variabel

a)      Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah). Pada kalimat terbuka selalu terdapat variabel atau peubah yang apabila diganti dengan suatu bilangan akan mengubah kalimat terbuka itu menjadi pernyataan.

b)      Variabel adalah sesuatu yang belum diketahui nilainya, biasanya dinotasikan dengan menggunakan huruf abjad x, y atau lainnya.

c)      Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) pada kalimat terbuka yang tidak dapat diganti. Konstanta merupakan faktor dari suku yang berbentuk bilangan.

b.      Persamaan Linear Satu Variabel

1)      Pengertian

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan “=” dan mempunyai variabel tertinggi berpangkat satu. Bentuk baku PLSV adalah ax+b=0, dengan a tidak boeh sama dengan 0 dan a, b bilangan Real.

2)      Menyelesaikan PLSV

Untuk menyelesaikan suatu PLSV dapat menggunakan cara-cara sebagai berikut:

a)      Dengan cara subtitusi

Cara subtitusi yaitu mengganti peubah atau variabel pada persamaan tersebut dengan suatu bilangan tertentu, sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang benar.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian x + 3 = 7, jika x adalah peubah pada bilangan cacah.

Jawab: Persamaan x + 3 = 7

x= 0, maka 0 + 3 = 7 (salah)

x= 1, maka 1 + 3 = 7 (salah)

x= 2, maka 2 + 3 = 7 (salah)

x= 3, maka 3 + 3 = 7 (salah)

x= 4, maka 4 + 3 = 7 (benar), dst …

Ternyata penyelesaian persamaan itu adalah 4

Hp= {4}.

b)      Dengan cara ekuivalen (aturan)

Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika persamaan-persamaan itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Notasi atau lambang ekuivalen “<=>”. Perhatikan persamaan-persamaan berikut ini.

                                                        i.            x + 2 = 3

Dengan memilih 1 sebagai pengganti x, maka diperoleh

1+2=3 yang merupakan pernyataan yang benar. Jadi, penyelesaiannya adalah x= 1.

                                                      ii.            2x + 4 = 6

Jika pengganti x adalah 1, maka diperoleh (2 x 1) + 4 = 6 (pernyataan yang benar). Jadi, penyelesaiannya adalah

x =1.

Persamaan-persamaan di atas mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu

x = 1. Sehingga persamaan-persamaan tersebut dinamakan persamaan yang ekuivalen.

Ditulis:  x + 2 = 3  <=> 2x + 4 = 6.

Selanjutnya untuk menyelesaikan suatu persamaan dilakukan dengan aturan persamaan ekuivalen sebagai berikut:

1.      Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas pada persamaan itu ditambah dengan bilangan yang sama.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

x – 5 = 11!

             Jawab:   x – 5 =11

                   <=> x – 5 + 5 = 11 + 5 (kedua ruas ditambah dengan 5)

                                     <=>             x = 16

Jadi Hp = {16}.

2.      Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas pada persamaan itu dikurangi dengan bilangan yang sama.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

x + 7 = 13!

              Jawab: x + 7= 13

<=> x + 7– 7  = 13 – 7  (kedua ruas dikurangi dengan 7)

<=>             x = 6

Jadi Hp= {6}.

3.      Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas pada persamaan itu dikalikan dengan bilangan yang sama.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

1/3 a=6!

             Jawab:   1/3 a=6

<=>  3 x 1/3 a=3 x 6  (kedua ruas dikalikan dengan 3)

<=>              a=18

Jadi Hp= {18}.

4.      Suatu persamaan tetap ekuivalen jika kedua ruas pada persamaan itu dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

5z=15!

             Jawab: 5 z =15

<=> (5/5)z =(15/5) (kedua ruas dibagi dengan 5)

<=>       z =3

Jadi Hp= {3}.

Untuk mencari penyelesaian PLSV secara efisien, dapat menggunakan rumusan berikut:

ax+b = cx+d

<=>ax-cx = d-b (apabila pindah ruas, maka tanda berubah dari + manjadi - , begitupun sebaliknya)

<=>(a-c)x = d-b

<=>       x  = (d-b)/(a-c)

c.       Penerapan Konsep PLSV dalam Pemecahan Masalah

Untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan PLSV dapat menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1)      Menentukan dan memahami masalah yang terdapat pada soal tersebut.

2)      Membuat  model matematikanya (berupa persamaan).

3)      Menyelesaikan model matematikanya, sehingga diperoleh solusi.

4)      Memeriksa jawaban yang telah diperoleh dengan mengaitkannya pada soal.

Contoh: Harga sepasang sepatu 3 kali harga sepasang sandal. Jumlah harga sepasang sepatu dan sepasang sandal adalah Rp 18.000,00. Tentukan harga sepasang sandal!

Penyelesaian:    Misalkan harga sepasang sandal x rupiah.

                          Jumlah harga sepasang sepatu dan sepasang sandal adalah Rp 18.000,00 sedangkan harga sepasang sepatu 3 kali harga sepasang sandal, maka:

                           <=>   3x+x    =18000

                           <=>   (3+1)x =18000

 <=>           4x=18000

 <=>     (4/4) x=(18000/4)

 <=>             x= 4500

Jadi harga sepasang sandal adalah Rp.4.500,00.